Neo's Blog

不抽象就无法深入思考
不还原就看不到本来面目!

0%

动态规划系列-丑数

我们把只包含质因子2、3和5的数称作丑数(Ugly Number)。

例如6、8都是丑数,但14不是,因为它包含质因子7。

求第n个丑数的值。

样例
输入:5

输出:5
注意:习惯上我们把1当做第一个丑数。

解答思路

第二种:创建数组保存已经找到丑数,用空间换时间的解法。
根据丑数的定义, 丑数应该是另一个丑数乘以 2、3 或者 5 的结果(1 除外)。因此我们可以创建一个数组,里面的数字是排好序的丑数,每一个丑数都是前面的丑数乘以 2、3 或者 5 得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。假设数组中已经有若干个丑数排好序后存放在数组中,并且把己有最大的丑数记做M,我们接下来分析如何生成下一个丑数。该丑数肯定是前面某一个丑数乘以 2、3 或者 5 的结果, 所以我们首先考虑把已有的每个丑数乘以 2。在乘以 2 的时钝能得到若干个小于或等于 M 的结果。由于是按照顺序生成的,小于或者等于 M 肯定己经在数组中了,我们不需再次考虑:还会得到若干个大于 M 的结果,但我们只需要第一个大于 M 的结果,因为我们希望丑数是按从小到大的顺序生成的,其他更大的结果以后再说。我们把得到的第一个乘以 2 后大于 M 的结果记为 M2,同样,我们把已有的每一个丑数乘以 3 和 5,能得到第一个大于 M 的结果 M3 和 M,那么下一个丑数应该是 M2、M3 和 M5 这 3 个数的最小者。

前面分析的时候,提到把已有的每个丑数分别都乘以 2、3 和 5。事实上这不是必须的,因为已有的丑数是按顺序存放在数组中的。对乘以 2 而言, 肯定存在某一个丑数 T2,排在它之前的每一个丑数乘以 2 得到的结果都会小于已有最大的丑数,在它之后的每一个丑数乘以 2 得到的结果都会太大。我们只需记下这个丑数的位置, 同时每次生成新的丑数的时候,去更新这个 T2。对乘以 3 和 5 而言, 也存在着同样的 T3 和 T5。

T2的更新是需要靠遍历来完成的,但是需要明确的是:T2不需要每次都从0开始,他是越来越大的。

你的支持是我坚持的最大动力!