位运算系列-不使用四则运算符的加法

题目描述

写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用＋、－、×、÷ 四则运算符号。

样例
输入：num1 = 1 , num2 = 2

输出：3

思路

经验知识1：位运算的特点之一是在二进制表示下不进位，参与位运算的各个bit之间是独立无关的。

经验知识2: XOR又称作无进位加法

经验知识3: 计算机便是通过XOR，与操作，移位操作来实现加法的，具体的做法可以见下面的代码。

相信如果你有上面三块知识储备，想出该题目的解法是没有问题的。

这里多说一句，为什么别人可以想出正确的解法，而我们不可以。原因有两个：

第一，别人知道某块知识，而我们不知道。

第二，（需要使用到的知识我们是知道的）别人能够通过发散思维，或者启发式思考调取需要用到的知识储备，而我们却不行。

针对以上两点，我们的解法是：

第一，学习更多的知识、经验、技巧，有更多的知识储备。

第二，不仅仅要学习知识、经验、技巧，还要去尝试着去做深度、广度的思考。深度的话，我们多问几个为什么，去剖析本质，找到他们的第一性原理。广度的话，我们要去做类比，要去做关联，了解两块知识的区别与联系。

第三，去做更多的刻意练习：多刷题，多解题，多推理证明，保证自己思维的严密性。

代码

class Solution {
public:
    int add(int num1, int num2){
        while (num2) {
            /*
            经过XOR操作后，1/0,0/1,0/0都已经符合预期了，只是1/1？ 本来应该成为10，却变成了0？
            我们怎样才能找回丢失的进位呢？ 只有&操作才能将两个1变为1，也许是我们好的选择？
            实际上，这就是计算机执行加法的底层原理。
            */
            int sum = num1 ^ num2;
            int carry = (num1 & num2) << 1;
            num1 = sum;
            num2 = carry;
            //用计算出来的结果重新赋值，有点辗转相除法的感觉。
        }
        return num1;
    }

    int sub(int num1, int num2) {
        //a - b = a + (-b)
        return add(num1, add(~num2, 1)))
    }

    
    int mul(int a, int b) {
        //最笨的方法是for循环--b次； 有没有更好的办法呢？ 
        //都转为正数先
        int a1 = a >= 0 ? a : add(~a, 1);
        int b1 = b >= 0 ? b : add(~b, 1);
        int sum = 0;
        //整个过程跟手动乘法类似
        while (b1) {
            if (b1 & 0x01) {
                sum = add(sum, a1);
            }
            a1 <<= 1;
            b1 >>= 1;
        }

        //异号，相反数
        if (a ^ b < 0) {
            sum = add(-sum, 1);
        }

        return sum;
    }

    int div(int a, int b, int& reminder) {
        int r = 0;
        //都转为正数先
        int a1 = a >= 0 ? a : add(~a, 1);
        int b1 = b >= 0 ? b : add(~b, 1);
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            if ((a1 >> i) >= b1) { // a >= (b << i)
                r = add(r, 1 << i);
                a1 = sub(a1, b1 << i);
            }
        }

         //异号，相反数
        if (a ^ b < 0) {
            r = add(~r, 1);
        }

        reminder = a1;
        return r;
    }
};