学习数学通识带给我的认知提升
- 良好的沟通是建立在精确的定义的基础之上的。而给事物一个精确的定义却没有那么容易，如同“无穷小”，“概率”。给到一个精确的定义，需要我们非常了解事物的本质，甚至需要颠覆我们的认知。“无穷小”、“概率”这些东西，并不是静态，而是一个过程、一种趋势，一种极限。
- 我们有理由这么相信：这个世界是完美的。如果一件事情在某些方面表现的没有那么“完美“，我们也许需要更深入的考虑一下是不是我没有窥探到事物的本质。例如：借助虚数，我们可以让一元N次方程，在复数范围内有N个解。
- 数学提供了很多工具用来解决很多类似的问题。在解决现实问题的时候，我们需要做的是将现实问题转换为正确的数学问题，然后借助正确的工具去求解。一些数学问题的解答，会有一些“奇技淫巧”，这些解答固然巧妙，但是并没有可复制性，不能举一反三的解决更多的问题。反过来，我们更提倡的是给某一类问题找到通用解法。这类解法可以更笨一些，但是一定要通用。
- 模糊的正确胜过精确的错误。这里的正确、错误指的是更高层次的正确和错误，指的是解决一个问题的总体框架、算法是否有问题；而这里模糊、精确指的的低一个层次的东西，是细节；模糊的正确指的是：总体框架、算法是没问题的，只是其中一些细节不够清晰，待明确；这种思路显然比精确的错误要更好。
- 公理化体系：以一些不证自明的道理或者事实为原地，通过逻辑推理，得到一个个定理，进而得到一整套完整的知识体系。这个是欧几里得的《几何原本》告诉我们的。其实不只是数学，管理学、经济学、法律都是源自这个思路。在管理学中，一个企业的远景与使命决定了企业为何而存在，而企业的企业文化决定了企业内外的人的相互关系以及价值观。经济学也有自己的前提假设-市场中的每一个人都是理性的，自私的。法律的话，在某些法律中会提到“法律面前人人平等”，“私有财产神圣不可侵犯”等论断，这些论断从何而来呢？ 这些只不过是一些不能再简单的大道理罢了。
- 跨界创新：几何与代数的完美结合，笛卡尔将两者结合，可以更加方便的用彼此来解决自己的一些问题。其实，所谓的创新不外乎是各项生产要素的重新组合而已。更重要的是要开阔自己的思路，不要禁锢在自己的领域之内。
- 数（自然数、整数、有理数、无理数、虚数、复数）数，存在吗？有理数，存在吗？数、有理数其实还没有拿难以理解。为什么呢？因为在现实世界中，有实物可以与之对应。数，就是物体的数量；有理数，就是我从10份中拿走了自己的7份。零呢？负数呢？虚数吗？这些概念，在现实世界中并没有与之相对应的事物。它们是数学家们虚构出来的概念，是一个工具，是一个桥梁，用来解决现实的数学问题。一个现实问题，往往要解决一个不存在的事物，才能得到解决。化学反应中的催化剂、公司法人的概念，甚至于宗教崇拜，都是类似的问题。人类也许是唯一可以想象出现实世界中不存在的事物的物种吧。正是这种优势，才让人类在物种竞争中脱颖而出。
- 有穷与无穷：因为我们生活在有限的世界中，所以很难想象无穷。在无穷的世界中，有限世界中的很多法则都要改写。无穷是一种趋势，而绝不是一个很大很大的数。数不等于趋势，这个才是本质。罗素为了挑战牛顿、莱布尼茨等人，提出无穷小悖论，造成了数学史上的第二次危机。
- 数学分为很多分支，我们在每一分支的学习过程中，需要搞清楚：（1）每一个方向的基本假设（公理）、基本定义（2）该方向提供了什么工具，可以解决什么问题
- 微积分：通过学习微积分，我们需要能够把控宏观趋势的微观趋势的相互影响。需要了解积分造成的滞后效应。牛顿借助趋势，通过导数的方式来求最大值，这种思路也值得我们参考。
- 线性代数：向量、矩阵的本质，矩阵加法、矩阵乘法的本质。更多的是一种数学工具，让我们更方便的批量处理数据。
- 概率论：忽略局部不确定性，把握整体的确定性。概率论的学习，让我们在不确定的世界中有迹可循。分布：正态分布（标准正态分布）、柏松分布、幂次分布、二项分布。
- 博弈论：在现实世界中，我们要尽量少参与零和博弈，毕竟出来混迟早要去还的。而应该多参加非零和博弈，因为只有非零和博弈才有双赢的可能。然而，双输更有可能成为博弈的平衡点，其根源的化在于信息闭塞，博弈方有信任危机。
《吴军数学通识50讲》大纲
数学：学科基础
思考方式：化繁为简，直击本质。
把自己的对所有数学概念和方法的理解程度，从静态的、具体的，上升到动态的、规律性的。
数学的线索：从猜想到定理到应用
（）数学与自然科学的三个本质差别：
第一，测量 和 逻辑推理 的区别
观察的经验能够给我们启发，但是不能给到我们结论。
数学上的结论，一定是从定义和公理出发，经过逻辑推到而得到。
第二，事实证明 与 逻辑证明 的区别
自然科学中，一个假说通过实验证实就变成了定律（即使某些条件下确实不满足，实际上自然科学上几乎所有的定律和理论都有被推翻的可能性）
数学理论必须靠证明，保证没有例外。
第三，科学结论的相对性 与 数学结论的绝对性
数学的每一个定理都是一块基石，然后在此基础上建立新的基石，从而一点点建起整个数学大厦。
（）毕达哥拉斯 （从经验到系统性科学）
数学从哪里开始：必须遵守严格的逻辑证明才能得到结论。
逻辑体系的一致性与完备性；
（）数学的预见性：如何用推理走出认知盲区
数学史上第一次危机：无理数的出现
如果现实与数学发生了矛盾，那么有几种可能：
（1）数学推导本身有问题
（2）我们的眼睛或者认知有问题，例如我们之前的认知中是没有无理数的
（3）最初的假设错了，例如非欧几何
基于第二点，让很多危机变为转机，认知拓展，产生新的理论，例如：无穷小概念的提出、无穷大的重新认识、公理化集合论的确立
自然科学上，很多重大的发现，并非源于观察或者观测，而是基于数学推论，然后才被实验证实。
（）数学思维：如何从逻辑出发想问题
矛盾律：一个实物不可能既满足A属性，又不满足A属性；
反证法：基于一个假设，推出矛盾；所以，假设是错误的。
（）数学的边界
毕达哥拉斯定理 <=== 费马大定理 ====> 希尔伯特第十问题
到目前为止，我们所能解决的问题只是所有数学问题中很小一部分。
解析解：答案是以公式的形式存在的；这样子套入任何数字，就可以得到具体的解。
非线性方程怎么解：
苏联：数学水平高，所以努力去求出其解析解
美国：将非线性问题转换为计算量大，但很简单的线性问题，然后统计计算机来求解。
（）毕达哥拉斯：黄金分割，连接数学和美学
黄金分割源于：自相似，分形；
等角螺线：蜗牛、龙卷风、星系 （黄金分割。。）
（）数学的应用
现实世界中很多问题，究其本质都是数学中的最优化问题
华罗庚：优先法 黄金分割的应用
真正的大师：能够用通俗易懂的话将复杂的问题讲明白
（）数列和级数
数列：是从生活中而来，例如利息与几何级数有关系；而斐波那契数列与物种繁衍、组织自然发展有关系。数列反映了现实世界中事物的发展过程。
斐波那契 与 黄金分割有关系
数列反映的是趋势，他不像数（这个数有多大，有多少钱，多少资源）而是关心未来能变的多大，变得多快。
除了趋势，我们还关系累计的效果，也就是数列之和，也就是级数。
级数的发散与收敛 具体应用：文章如何成为爆款？
r 相邻两项的比例，r>1 发散； r<1， 则收敛
数：方程、虚数
思维工具：从具体到抽象
抽象工具的发明，用于解决实际问题。
对数的认识，从具体到抽象
数学的本质，是工具！
针对某个具体问题的精妙的解题技巧的作用，远远不如通用的“笨方法”
应用题：把自然语言描述的现实问题变成用数学语言描述的数学问题，比如列出方程
一元一次，一元二次方程，解析解，没毛病； 那么一元三次方程呢？（没有通解，唯有一些特殊方程，用一些巧妙的办法才能解出来）
一些启发：
从引理到定理，引理只能解决某个问题的特殊形式，并不能成为定理。
实际学习，能够把现实问题转换为数学问题的能力是最重要的，而不用拘泥于如何去求解他们。我们应该借助工具。
解三次方程：明明有公式，但是公式中遇到了一堵墙，我们必须引入一个不存在的东西才能把这堵墙翻过去。
哲学意义：明明是现实问题，在现实世界也有答案，却无法直接得到，而非要发明一个不存在的东西作为桥梁。
引入虚数之后：
（1）逻辑可能的漏洞补上了，一元N次方程，一定有N个解
（2）作为工具的作用，直角坐标转换为极坐标
（3）应用层面：量子力学、相对论、控制系统等都离不开虚数
人类是唯一可以构造出不存在的事物的物种！！宗教、法律、有限公司、法人团体、法人！想象共同体
抽象思维：认知水平高低，在于能够接受虚拟的、不存在的事物！
自然数 =》 0 =》 负数、分数 =》 无理数 =》 虚数 越来越抽象
很多数学概念的基础在现实世界并不存在；但是建立在不存在基础上的工具，却能解决很多现实问题！
复数：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%2834%29
无限！！
无穷大，动态的，不断扩大的趋势，而不是一个静态的数！
旅馆悖论
在无穷大的世界的里，部分可以和整体等价！
我们不能以有限的认知，去理解无限的事物；也不能将把那些从很少的经验中得到的结论，放大后用于更大的场景。
动态变化发展的眼光，从趋势去看待世界，新的认识世界的方式
把我世界变化是处于什么层次上？ 无穷小？
经验 与 逻辑 的矛盾
经验胜利：各种芝诺悖论
他永远追不上乌龟 无穷小累加是一个有限的数
飞箭静止 混淆了瞬间位移 与 瞬间速度
两匹马的距离 等与 一匹马做的距离 无穷小不是0
逻辑胜利：日心说
第二次数学危机：贝克莱PK牛顿 无穷小悖论：无穷小到底等不等不0？
微积分的基础是导数；而导数的前提是无穷小；但是无穷小却没有精确定义？
极限的精确定义
芝诺 牛顿/莱布尼茨（无穷小） 贝克莱 柯西/威尔斯特斯拉（定量、逆向思维=》精确定义极限）
数学逻辑的漏洞，其实是人们认知的漏洞！
有逻辑的傻问题，是我们认知体系扩大的开始！
无穷大/无穷小 虽然不是数，但是可以比大小；甚至可以参与+-*/等数学运算
一些认知：
有穷 VS 无穷
静态 VS 动态 （趋势）
现实 与 虚构
直觉 和 逻辑（逻辑可以让我们分析清楚 我们看不到，甚至不存在的事物）
概念 与 表述 （ 做事专业，需要掌握专业的术语，数学、法律）
财富 和 荣誉 （科学无专利，带来的是荣誉；而技术有专利，带来的是财富）
几何
几何学： 埃及：初步感性认识 =》 量化的感性认识 =》 记录传播 =》 希腊：公理化知识体系
如何建立一个完备的公理化知识体系
欧氏几何：源自 五条一般性公理 与 五条几何公理
定义一些基本概念！
辅助线： 又一次借助虚拟的工具来解决问题
如果某一条公理有错误呢？
（1）如果你设定的公理 与 现有公理有矛盾，那么知识体系就无法建立
（2）如果没有矛盾，那么就会构建出一个新的知识体系，他本身是自洽的；但是与其他体系相矛盾。
欧氏几何，非欧几何（双曲面、椭球面）
平面是什么？ 满足平行公理的面。
黎曼几何：相对论的理论基础
解析几何：将代数 与 几何 统一；他借助代数让一些几何问题变得容易求解；借助几何让一些代数问题变得容易求解。
坐标系：笛卡尔坐标系；
公理化体系：通过公理化系统构建一个知识体系，体现出人们创造思想的最高水平！
法律：自然法，那些最基本的，不证自明的依据
管理：企业文化价值观
延拓：在想象的世界里，一次合乎逻辑的认知升级：减法延拓出负数、开根号延拓出虚数等
代数：函数、向量、线性代数
数 =》 方程 =》 函数
代数：两个工具（函数、方程）一个规律（数字有方向）
函数：对应关系
函数：人们的认知 从 个体上升到整体；从单点联系上升到规律性的网状联系。从单个数字、变量的关注引向了趋势。为同一类问题提供了普遍性的答案。
因果关系：数学中可互换
反函数：轴对称
72定律：年回报率为R%，那么财富将在72/R年后翻翻。
搞清楚：只有一个自变量的话，自变量与因变量存在因果必然性；而多变量的话，每一个变量与函数值仅是相关性。
向量：有方向的数量；二维空间，三维空间，多维空间
数量的方向性，给我们的提示：做事情要聚焦。
向量夹角，余弦定理 与 文本相似度
线性代数：工作生活中实际用得上。
M*N矩阵的函数：M个N维向量放在一起
矩阵加法
工作生活的增量原则：有一个相对固定的大原则，以及针对各种情况的小变动。全量 + 增量
矩阵乘法：
单个计算 =》 大批量计算
微积分
与初等数学工具最大的不同：从关注静态关系，变成了 动态规律，特别是瞬间规律的把握。
微积分更多的作用在于训练思维！！
微分：从宏观趋势了解微观变化
导数：对变化快满的准确量化度量
多变量函数的微分：梯度
大量不确定性时，往婆度最高的方向努力。
从宏观趋势中把握微观变化的趋势，让我们认清每一步的方向。
不可导的趋势靠不住：
函数的光滑程度与可导之间的关系
经济过热、经济硬着陆、经济稳定增长
积分：从微观趋势了解宏观变化
积分思想的本质：从动态变化来看累积效应；之前都是靠平均值。
滞后效应
- 凡是通过积分获得数量，它的结果会滞后于瞬间变化，有时还要经过相当长的时间之后才能看到
- 这种由积分获得的数量，一旦大到被大家观察到之后，要逆转这个趋势是很难。
飞轮效应
加速度 =》 速度（有一定滞后） =》 距离（滞后两次）
从努力，到能力，到成绩，再到赏识，是一级级积分的结果，有滞后效应的；
用变化的眼光来看最大值和最小值
最优化问题：机器学习、金融投资、商业博弈论等
有限集合求最值的和心思想：两个元素直接或者间接比大小‘
牛顿的牛B：把最优化问题堪称了解函数动态变化趋势的问题。寻找最大值转换为一个解方程问题：导函数等于0
更加通用，并且与结合大小无关。
牛顿的方法只能找到极大值，却无法找到最大值。
如何找最大值的方法，至今无人解决。只能一个一个比较。
莱布尼茨从哲学出发，其哲学思想和逻辑思想有两点：
（1）我们所有的概念都是从非常小的、基本概念复合而成的，他们组成了人类思维的基本单位。
（2）简单的概念符合成复杂概念的过程是计算。
微积分是一个纯数学的工具。
牛顿 PK 莱布尼茨：宗教信仰不同
牛顿：自然神论者，上帝仅仅创造了世界。
莱布尼茨：神学家，上帝维护者
概率：（大数据思维的基础）
微积分这个工具以及牛顿，给了人们空前的自信，认为什么事情都是确定的；机械论世界观
拉普拉斯给出的定义：
随机事件：包含若干个等概率的基本事件
概率：随机事件A包含的基本单位数量/总数量
有漏洞！！
等概率？ 循环定义。
随机性是一种自然的属性；它客观存在，所以得到结果的不确定性；
有关不确定的概率，只有在大量随机试验时才能显现出来，当试验次数不足时，他则显示出偶然性和随意性。
伯努利实验
期望，误差，标准差/平方差
理想与现实：
越是概率小的事件，由于标准差的存在，所以误差就会越大；
例如1%的概率的事件，进行100次实验，标准差是1，期望是1，误差是大约是100%
如果想确保1次成功，至少要做260次实验。
提到单次成功率要比多做实验更重要，所以凡事多做准备，争取一次性成功。
泊松分布：小概率事件，但是试验次数足够大
公司停车问题
投资失败，判定一件事情发生的可能性总是由很大的误差，一个重要的原因就是靠直觉与有严重漏洞的逻辑，而不是靠严格的数学逻辑和推导。
应对随机性，需要的冗余比想象中的大。
（通讯公司应对通话高峰期问题）
池子越大，越能抵消随机性带来的误差。
（保险：保费与投保人数） =》 大的保险公司！！
如何尽可能的放大池子：保险公司互保
正态分布
一个标准差，置信度：65%
二个标准差：置信度：95%
三个标准差：置信度：99.73%
标准差越小，越瘦高；
如何缩小标准差：增加统计数量
条件概率：贝叶斯公式
P(X|Y) = P(Y|X) * P(X) / P(Y)
为什么这么写呢？因为通常P(X), P(Y)比较容易求的；而P(X|Y), P(Y|X)有一个比较容易求的。
机器翻译的原理（英文翻译成中文）
假设有N种翻译方法，其实就是从这N种翻译方法中找到一种翻译X, 使得在已知英文句子Y的条件下，X的概率P(X|Y)的概率最大。
给定一个中文语句，对应的英文句子的概率（马尔科夫计算模型）
P(X)表示那个句子在语法中更合理
概率公理化
概率的精确定义：
借助于极限的思想
伯努利版本大数定理：
如果一个事件的概率P存在，那么事件A的发生次数M / 总的试验次数N 伴随着N趋近于无穷大，M/N 无限趋近于 P
（不严格：假设P存在）
切比雪夫大数定理：
大量试验后，随机变量的平均值，就等于它的概率
前两者，偏向于自然语言，不够优雅，初等概率论
现代概率论：柯尔莫哥洛夫，引入“测度”概念
测度：概率函数，定义了概率，一个随机事件对应的数值。
统计学和大数据
用好数据的5个步骤
- 设定研究目标
- 设计实验
- 根据试验进行统计和实验，分析方差和均值
- 通过分析进一步了解数据，提出新假说（如果证明无效，提出新假说）
- 使用研究结果
黑天鹅产生的原因：把小概率事件当作零概率事件
奇普夫定律：自然界的普遍定律：排名 * 频次 = 常量
财富排名 * 财富 = 常量
古德-图灵折扣估计
博弈论
零和博弈：最多是平衡而已
博弈的最好策略：在对方给我们造成的最糟糕的局面里，选择相对最好的。
计算机算法：最小值中的最大值策略
静态博弈：
动态博弈：下围棋，交替出招
马鞍点：平衡点
非零和博弈
囚徒困境
双赢点是大家主观上都想达成的目标，但在现实中客观的结局常常是纳什均衡点，也就是双输的结果。
现实中，双赢很难的5个原因：
（1）博弈是长期反复的，长期坚持信任几乎不可能
（2）博弈论讲的是阳谋的策略，但很多时候博弈双方使用的确是阴谋。
（3）人类处于文明初级阶段，道德水准不聋高估。（见不别人比自己好）
（4）乌合之众效应（两人或者两个独裁国家博弈更容易双赢，但是两个民主国家则更难）
（5）看似双赢，但其实是更大范围内的零和博弈（公司给员工的期权）
合作，永远不要玩难以达成双赢的游戏；初次相信原则
智猪博弈：大小企业竞争，搭便车似的跟随策略
制定最好的策略，是要考虑到对方采取每一种策略的概率，而不是简单考虑对方一定会采用对自己最不厉的策略。
数学和其他知识体系
哲学与数学，一头一尾
数学如何影响哲学
笛卡尔
人类如何知识：经验 + 理性推理（逻辑） + 去伪存真
实证 人的理性
莱布尼茨
相对的因果时空观
对离散的世界理解（二进制、不可分割性=》离散数学、量子力学）
使用建立公理化体系的方法，建立自己的哲学体系。
数学和逻辑学：逻辑是一切的基础
逻辑是人类理性的体现，基本原理：
（1）同一律
明确概念、偷换概念，以偏概全
（2）矛盾律：不可能是A，又不是A
同一时间，同一属性，同一方面，对象
（3）排中律：是非明确
二分相关算法的逻辑基础
（4）充分条件律：有果必有因
任何结论都要有充分的理由。
工具
运筹学：利用图论、线性代数等数学工具，从整体上改变现有系统的效率。 数学是工具
管理学：企业的三公理
愿景和使命（企业为什么而存在）
价值观（企业中的人与外界各种人的关系）；数学，公理思维方法论
历史：历史研究中，不强调所有的正确性或者正统观点，而强调逻辑的自洽。任何从客观出发，逻辑上都自洽的结论都是有意义的。
体系公理不一样，还原出的历史就不一样。没有对错，却有好坏，有合理和荒诞。评判标准在于：其假设前提，也就是公理的客观性，以及论证的逻辑性。
伽罗瓦 古典难题给我们的提示：
伽罗瓦的群论，近世代数
（1）绝大多数知识体系都不可能做到绝对的完备性和一致性的统一。
某一个区域内，一定会出现仅靠区域内的知识无法解决的问题。解决这些问题需要更大领域的知识。
（2）每一种工具都可以解决很多问题，将很多看似并不相关的难题的共性找出来。如果这些工具，某些难题看似能解决，但仅仅是靠技巧。
（3）跳出圈外，在某一个时代，某些问题之所以很难，是因为他们看似当时知识体系的问题，但其实是表象。二等分角 VS 三等分角（欧几里得几何范围内无法解决）
庞加莱猜想 拓扑学的基石 done
NP问题：不存在还是没找到？
霍奇猜想
黎曼猜想（希尔伯特问题）
杨-米尔斯存在性与质量间隙
罗素悖论：第三次数学危机 理发师悖论
能否有一个集合，他有那些不包含自身的集合构成？
数学思维：
一切从公理出发，逻辑得到结论
在解决问题之前，先搞清问题，特别是搞清楚问题的定义
各种知识体系是相通的
用动态、发展的眼光看待世界。
思维方式
哲学对数学的影响
哲学试图去构建一个位于科学和其他知识之上的大一统体系，形成一个没有矛盾的知识体系。
数学：希尔伯特，大一统的数学体系（不可能）
物理学：爱因斯坦，大一统的物理体系（至今未实现）
一个人只有在深刻人类知识的普遍性原理之后，才能站在一个制高点往下俯视。
从个案到整体规律
从个别定理到知识体系
从具体到抽象
从静态到动态
从完全的确定性到把握不确定性
数据
数据的提供者：用户
数据的管理者：JD,gogole等公司
数据的使用者：谁从数据中受益
金钱的不可复制性，稀缺
数据呢？如果数据可以随意复制，那么他将一文不值。
如何数据的不可复制性
区块链：某些数据本身是很稀缺的。
数据资产化，数据资本化
